交換法則とは？計算の順番を入れ替えても答えが変わらない理由

次の計算をしましょう。

今回も、前回と同様に計算の法則を使えば簡単に
解くことが出来る問題です。

解答

 

今回は、交換法則を復習しよう！

前回は結合法則を使って問題を簡単に解く方法を見ました。
今回はそれにつづいて、交換法則を使って問題を簡単に解く
方法を見てみましょう。

まずは、交換法則についての復習です。

交換法則（かけ算）
数\(a、b\)に対して
\(a×b=b×a\)
が成り立つ。

この式を噛み砕いて説明すると、

「２つの数をかけるときは、そのかけ算の順序を逆にしても同じ計算結果となる」

という感じになります。

たとえば、九九を少し思い出すと、\(7\times 9\) も \(9\times 7\)も
同じく\(63\)という答えになりますよね。
交換法則はそのようなことを言っているのです。

交換法則を実際に使ってみよう！

それでは、この問題においてどうやって交換法則を使うかを見てみましょう。

まず、今回は「\(125\times 7777\times 8\)」という３つの数字の
かけ算なので、一見交換法則を使えそうにありません。

ですが、この計算の一部の「\(125\times 7777\)」という部分にだけ
注目すると、これは２つの数字のかけ算なので、

この部分には交換法則が使えるのです。
交換法則を使ってみましょう。

\(125\times 7777\times 8＝\)\(7777\times 125\times 8\)

このようになりました。掛け算の順序を交換しただけで、意味のないように見えるかもしれません。

実は、この計算はとても簡単！

交換法則を使って\(7777×125×8\)というように式を
変形してみましたが、実はこれ、すごく簡単に計算が済みます。

そのためには、前回の結合法則を思い出す必要があります。
不安な人は、前回の結合法則のかけ算バージョンを見ておいてくださいね！

それでは、どう簡単に済むのかを実際に見てみましょう！

まず、
\(7777×125×8\)を見たときに、「\(7777×125\)」を先に計算してしまうと
計算が大変になってしまいます。ここは、結合法則を使って、

\(7777×125×8＝\)\(7777×（125×8）\)

というように見て、まずは「\(125×8\)」を計算することにしましょう。

計算すると、
\(125×8＝1000\)
ということに気付いたでしょうか？

もう答えは目前！

\(7777×125×8＝7777×1000\)まで式を計算出来たら、あとは簡単ですね。
\(7777\)に\(0\)を３つつければ終了です。

\(7777×1000＝7777000\)

普段からこのように工夫して計算する人は確かにそう多くは
ありませんが、その計算の工夫を保証してくれているのは
結合法則であり、交換法則であるのです。

この点は大変見落としがちになるところなので、もう一度
確認してみてください！

もう一つおまけとして、交換法則のたし算バージョンも紹介しておきます。

交換法則（たし算）
数\(a、b\)に対して
\(a＋b=b＋a\)
が成り立つ。

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