マイナス×マイナスがプラスになる理由【わかりやすく証明】

今回は、\((-1)\times (-1)=1\)を証明してみましょう！

証明

 

まずは、簡単な準備から

マイナスにマイナスをかけるとプラスになる、というのは有名な話ですが、
これはあたりまえなことではありません。

今回は、分配法則と、「\(a\times 0=0\)」が成り立つことを使って、\((-1)\times (-1)=1\)を証明してみましょう。

そのために、\((-1)\times (-1)=1\)ではなく、

\((-1)×(-1)＋(-1)＝0\)

をまずは証明していきます。

それでは、証明に入りましょう！

\((-1)×(-1)+(-1)\)

が分配法則などの「計算」によって\(0\)になることを見ていきます。

まず分配法則を使います。
分配法則の式の形を思い出しながら\((-1)\)でくくると、

\((-1)×(-1)+(-1)\)
\(=(-1)×(-1)+(-1)\)\(×1\)
\(=\)\((-1)×((-1)+1)\)

となります。ここでは、
第２項の\((-1)\)の外には「\(1\)」がついていると思いながら\((-1)\)をくくり出したのです。

さらに計算を進めます。

今度はかっこの中の\((-1)+1\)の計算に入ります。当然

\((-1)+1=0\)

となるので、これをさっきの計算式に入れれば

\((-1)×((-1)+1)=(-1)×0\)

となりますね。

最後に、\(a×0=0×a=0\)を思い出します。ここで、\(a\)は実数であれば何でも成り立つので、
特にここでは\(a\)を\((-1)\)と思いましょう。すると、

\((-1)×0=0\)

となります。

まとめよう！

今まで行った計算の一連の流れを書いてみましょう！すると
こんな感じになりますね。

　\((-1)×(-1)+(-1)\)

\(=(-1)×((-1)+1)\)

\(=(-1)×0\)

\(=0\)

最初の式と最後の式だけを取り出してみると

\((-1)×(-1)+(-1)=0\)

となりました。

一見、\((-1)×(-1)=1\)ではないように見えますが・・・

今ここで示したのは\((-1)×(-1)+(-1)=0\)であって、
\((-1)×(-1)=1\)ではありません。しかし、最後に一工夫をしてあげれば終わりです。

\((-1)×(-1)+(-1)=0\)の両辺に\(1\)を足します。
これが、最後の一工夫です。

左辺は
\((-1)×(-1)+(-1)+1\)

\(=(-1)×(-1)+\)\((-1)+1\)

\(=(-1)×(-1)\)

右辺は\(0+1=1\)となります。よって、

\((-1)×(-1)=1\)

が証明できました。

ここまでの過程で

「どの式の中でも\((-1)×(-1)=1\)を使っていない」

ということ注目しましょう。計算法則（主に分配法則）だけを使って
\((-1)×(-1)\)の計算をし続けた結果、\(1\)にたどり着いた、ということを
この一連の計算式は示しているのです。

\((-1)×(-1)\)は決して当たり前に\(1\)ではなく、
このような計算式があることを覚えておきましょう！

 

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