a×０＝０の簡易的証明何をかけても0になる理由【a×0=0をわかりやすく証明】

（ただし、\(a\)は実数とします）

今回は、分配法則などの計算法則をより深く理解するために、
少し難しい問題に挑戦しましょう。

証明

 

まずは、簡単な準備から

私たちは、今まで「０に何をかけても０になるんだよ」と習ってきました。

実はこれ、あたりまえなことではありません。

今回はこの問題を、今まで見てきた計算法則たちを使って
考えてみることにします。

そのための準備として、１つ計算をしておきます。

\(a＋（－a）\)

この計算の答えは、\(0\)ですね。つまり

\(a＋（－a）＝0\)

です。これがこの証明では結構重要だったりします。

それでは、証明に入りましょう！

この証明は、一連の計算からなります。
それぞれの計算過程において、どんな風に
計算法則たちが活躍しているのかをよーく見てあげてくださいね！

まず、問題文の左辺の「\(a×0\)」を変形します。
ここで、さっきやった計算

\(a＋（－a）＝0\)

から「\(0\)は\(a＋（－a）\)に等しい」ということがわかりますね。
これを\(a×0\)に代入すると、

\(a×0＝a×（a＋（－a））\)

となります。

次に、分配法則を持ち出します。分配法則の式の形を思い出すと、

\(a×（a＋（－a））＝\)\(a×a＋a×（－a）\)

となります。つまりここでは、（）内の「\(a＋（－a）\)」を先に計算せず、
その代わり（）の外についている「\(a\)」を（）内の２つの項に分配したのです。

さらに計算を進めます。

\(a×a＋a×（－a）＝a×a＋（－a×a）\)となりますね。つまり

\(a×a＋a×（－a）＝a×a＋（－a×a）＝0\)

となりますね。

まとめよう！

今まで行った計算の一連の流れを書いてみましょう！すると
こんな感じになりますね。

　\(a×0\)

\(＝a×（a＋（－a））\)

\(＝a×a＋a×（－a）\)

\(＝a×a＋（－a×a）\)

\(＝0\)

最初の式と最後の式だけを取り出してみると

\(a×0＝0\)

となりました。

この式の流れで感じてほしいのは、

「どの式の中でも\(a×0＝0\)を使っていない」

ということなんです。計算法則（今回は主に分配法則）だけを使って
\(a×0\)の計算をし続けた結果、０にたどり着いた、ということを
この一連の計算式は示しているのです。

なので、\(a×0\)は決して当たり前に0ではなく
このような計算式があることを覚えておきましょう！

おまけとして、\(a×0\)に交換法則を使うと、

\(a×0＝0×a\)

となりますので、やはり\(0×a\)も０になります。

また、この計算では結合法則は出てきませんでしたが、
この証明をキッチリやろうとすると出てきます。

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